\defaultfont
\appendix

\setcounter{equation}{0}

\renewcommand\theequation{B-\arabic{equation}}
%\renewcommand\thesection{B.\arabic{section}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\BiAppChapter{小节~\ref{subsec. ch5sec3.2}中推论证明}{Proof of the Corollaries in Subsection~\ref{subsec. ch5sec3.2}  }%


\BiSection{证明推论~\ref{cor. PROB_dw}}{The proof of corollary~\ref{cor. PROB_dw} } \label{appendix. PROB_dw}
\begin{proof}
	根据式~\eqref{eq.PROB_d_w}中对$d_w$的定义，将该序列的两个相邻项作减法可得：
	\begin{equation*}
		\begin{aligned}
			&d_{w+1} - d_w  \\
			&= \frac{(2\lambda_j)^{-w}}{2}  \sum_{j=1}^2 \left\lbrace \left[ 1-(w+1)b_j^2 \right] (2\lambda_j)^{-1} - (1-wb_j^2) \right\rbrace  \\
			&= \frac{(2\lambda_j)^{-w}}{2}  \sum_{j=1}^2 \left\lbrace  wb_j^2\left[ 1 - (2\lambda_j)^{-1} \right] + (1-b_j^2)(2\lambda_j)^{-1} - 1\right\rbrace.
		\end{aligned}
	\end{equation*}
	由于假设$\left[ 1 - (2\lambda_j)^{-1} \right]>0$，因此如果
	\begin{equation*} 
		\begin{aligned}
			w &\ge \frac{1 + (b_j^2 - 1)(2\lambda_j)^{-1}}{ b_j^2\left[ 1 - (2\lambda_j)^{-1} \right]}, \\
			& \ge \frac{1}{b_j^2} + \frac{1}{2\lambda_j - 1}
		\end{aligned},  \forall j \in \{ 1,2 \},
	\end{equation*}
	$d_w$序列相邻两项的差值有
	$$d_{w+1} - d_{w} > 0.$$
	即$d_w$序列在$w$大于某个阈值后将持续增加。
	
	另外，从$d_w$的定义可知，当
	\begin{equation}
		w \ge \frac{1}{b_j^2},  \forall j \in \{ 1,2 \}. 
	\end{equation}
	时，有$d_w \le 0, \forall k \in \mathbb{R}^+$。因此可知，序列$d_w$在$w$足够大时，随着$w$的变大而增加的负数。因此该序列的极限必然是无限趋近于0。
	
	又因为$d_w$对任意的$w$都有定义，$d_1\neq \infty$，因此必然存在某一元素是整个序列的最大值$\bar{d}$，使得$|d_w|\le \bar{d}, \forall w \in \mathbb{R}^+$。
	
	至此，推论~\ref{cor. PROB_dw}得证。
\end{proof}


\BiSection{证明推论~\ref{cor. PROB_recursive_c_w}}{The proof of corollary~\ref{cor. PROB_recursive_c_w} } \label{appendix. PROB_recursive_c_w}
\begin{proof}
	首先将$\tilde{c}_w$序列的两个相邻项$w$和$w+1$进行展开，
	\begin{equation} \label{eq. PROBappen_expan_c_w}
		w\tilde{c}_w = \left( \tilde{c}_0\tilde{d}_w + \tilde{c}_1\tilde{d}_{w-1} + ... + \tilde{c}_{w-1}\tilde{d}_1\right),
	\end{equation}
	以及
	\begin{equation} \label{eq. PROBappen_expan_c_w+1}
		(w+1) \tilde{c}_{w+1} = \left( \tilde{c}_0\tilde{d}_{w+1} + \tilde{c}_1\tilde{d}_{w} + ... + \tilde{c}_{w}\tilde{d}_1\right).
	\end{equation}
	则将式~\eqref{eq. PROBappen_expan_c_w}的左右两边同时添加一个$\tilde{c}_w$可得，
	\begin{equation} \label{eq. PROBappen_expan_c_w+1_add_onemoreterm}
		(w+1)\tilde{c}_w = \left( \tilde{c}_0\tilde{d}_w + \tilde{c}_1\tilde{d}_{w-1} + ... + \tilde{c}_{w-1}\tilde{d}_1 + \tilde{c}_w \right).
	\end{equation}
	用式~\eqref{eq. PROBappen_expan_c_w+1} 减去式~\eqref{eq. PROBappen_expan_c_w+1_add_onemoreterm}可得，
	\begin{equation*}
		\begin{aligned}
			&(w+1)\left( \tilde{c}_{w+1} - \tilde{c}_{w} \right) \\
			&= \tilde{c}_0 (\tilde{d}_{w+1} - \tilde{d}_{w} ) + ... + \tilde{c}_{w-1} (\tilde{d}_{2} - \tilde{d}_{1} )  +\tilde{c}_w (\tilde{d}_{1} - 1 ).  
		\end{aligned}		
	\end{equation*}
	由于$\tilde{d}_{w+1} = \tilde{d}_{w} = ... = \tilde{d}_{1} = \bar{d}$，因此上式转变为：
	\begin{equation*} 
		\begin{aligned}
			(w+1)&\left( \tilde{c}_{w+1} - \tilde{c}_{w} \right) = (\bar{d} - 1)\tilde{c}_w \\
			\Rightarrow \quad & \tilde{c}_{w+1} = \frac{\bar{d}+w}{w+1} \tilde{c}_{w}. 
		\end{aligned}		
	\end{equation*}
	另外，因为$\tilde{c}_0 = c_0 > 0$，因此$\tilde{c}_w > 0, \forall k \in \mathbb{R}^+$。
	
	下面使用数学归纳法证明$\tilde{c}_w$是序列$c_w$的包络上界。
	
	首先当$i=0$时， $c_0 = \tilde{c}_0 \Rightarrow |c_0| \le |\tilde{c}_0|$。 
	
	然后当$i=1$时， $|c_1| = |c_0d_1| \le |c_0| |d^u| = |\tilde{c}_1|.$
	
	假设当$i=w-1$时，满足$|c_{w-1}| \le |\tilde{c}_{w-1}|$。 则对于$i=w$，有
	\begin{equation*} 
		\begin{aligned}
			|c_w| &= |\frac{1}{w} \left( c_0d_w + c_1d_{w-1} + ... + c_{w-1}d_1 \right)| \\
			& \le \frac{1}{w} \left( |c_0||d_w| + |c_1||d_{w-1}| + ... + |c_{w-1}||d_1| \right)\\
			& \le \frac{1}{w} \left( |\tilde{c}_0||\bar{d}| + |\tilde{c}_1||\bar{d}| + ... + |\tilde{c}_{w-1}||\bar{d}| \right) \\
			& = |\tilde{c}_w|.
		\end{aligned}	
	\end{equation*}
	因此对任意的$w$,都满足$|c_w| \le |\tilde{c}_w|$。
	
	至此，推论~\ref{cor. PROB_recursive_c_w}得证。
\end{proof}



\BiSection{证明推论~\ref{cor. PROB_e_w^D}}{The proof of corollary~\ref{cor. PROB_e_w^D}} \label{appendix. PROB_e_w^D}

\begin{proof}
	证明新序列$e_w^D$在该推论中各种性质的思路是，使用$c_w$的上界序列$\tilde{c}_w$，依照$e_w^D$序列的定义方式，用同样的定义方法使用$\tilde{c}_w$合成一个$\tilde{e}_w^D$。由于$\tilde{c}_w$是$c_w$的上界序列，该性质可以拓展到具有相同定义方式的序列$\tilde{e}_w^D$和$e_w^D$上，即
	$$|e_k^D| \le |\tilde{e}_k^D|,\forall k \in \mathbb{R}^+.$$	
	
	则根据推论~\ref{cor. PROB_recursive_c_w}中$\tilde{c}_w$的递归计算式，当$w>D-1$时，有如下关系式的成立，
	\begin{equation*} \label{eq. tilde_e_k^D and tilde_e_{k+1}^{D}}
		\tilde{e}_{w+1}^D = \frac{\bar{d}+w}{w+1} \frac{\prod_{j=1}^{D}(w+2-j)}{\prod_{j=1}^{D}(w+3-j)}\tilde{e}_{k}^D.		
	\end{equation*}
	
	因此当$D=1$，上式可简化为
	\begin{equation*}
		\begin{aligned}
			\tilde{e}_{w+1}^D &= \frac{\bar{d}+w}{w+2} \tilde{e}_{w}^D \\
			& < \tilde{e}_{w}^1, \quad \forall w \ge 0.
		\end{aligned}		
	\end{equation*}
	因此当$D=1$时，序列$\tilde{e}_w^D$在随着$w$的增加而逐渐减少。此时$\tilde{e}_w^D$的最大值为$\tilde{e}_0^D = \tilde{c}_0$。
	
	当$D \ge 2$时，根据式~\eqref{eq. new series e_k^D, D>2}的定义方式，可做如下展开，	
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\tilde{e}_{w+1}^D &= \frac{\bar{d}+w}{w+1} \frac{(w+1)(w+2-D)\prod_{j=2}^{D-1}(w+2-j)}{(w+2)(w+1)\prod_{j=3}^{D}(w+3-j)}\tilde{e}_{w}^D  \\
			& \le \frac{ (\bar{d}+w)(w+2-D) }{ (w+2)(w+1) } \frac{\prod_{j=2}^{D-1}(w+2-j)}{\prod_{j=2}^{D-1}(w+2-j)}\tilde{e}_{w}^D \\
			& = \frac{ (\bar{d}+w)(w+2-D) }{ (w+2)(w+1) }\tilde{e}_{w}^D\quad \forall w \ge D-1.
		\end{aligned}		
	\end{equation}
	将系数的分子分母做差可得
	$$
	\begin{aligned}
		&(\bar{d}+w)(w+2-D) - (w+2)(w+1) \\
		&= (\bar{d}-D-1)w +\bar{d}(2-D)-2.
	\end{aligned}
	$$
	由于$0 \le \bar{d} \le D$并且$D \ge 2$，因此$\bar{d} -D -1 < 0$，以及$\bar{d}(2-D) \le 0$，因此可知
	\begin{equation} \label{eq. tilde_e_k^D if D>=2}
		\tilde{e}_{w+1}^D < \tilde{e}_{w}^D, \quad \forall w \ge D-1.
	\end{equation}
	由此可以总结出$\tilde{e}_w^D$的是有界的且它的极限是有限值，即
	$$\mathop{\lim}_{k \rightarrow \infty} \tilde{e}_{k}^D = \mathit{Const.}$$
	此时当$w\le D-2$，根据式~\eqref{eq. new series e_k^D, D>2}中的定义，$\tilde{e}_w^D$的值是随着$w$的增加而递增的，因此在$0 \ge w \le D-2$的区间内，$\tilde{e}_w^D$在$w=D-2$取得最大值。又当$w \ge D-1$时，由上述分析可知，$\tilde{e}_w^D$在$w=D-1$处取得最大值。又$\tilde{e}_{D-2}^D=\tilde{c}_{D-2} < \tilde{c}_{D-1}$，并且$\tilde{e}_{D-1}^D=\frac{\tilde{c}_{D-1}}{D!} \le \tilde{c}_{D-1}$，因此可以总结出，$\tilde{e}_w^D < \tilde{c}_{D-1}, \forall w \in \mathbb{R}^+$。
	
	
	又由于$\tilde{e}_w^D$ 是 $e_w^D$的上界包络，因此$|e_w^D|$的极限也是有限值，且$|e_w^D|<\tilde{c}_{D-1}$。
	
	至此，推论~\ref{cor. PROB_e_w^D}得证。
	
\end{proof}